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Soient, en effet, les m équations suivantes : 



dz dz dz dz 



A,s = - 1- «11 -— H- «12 -— H ho,„-— = 0, . . . (il) 



dx^ dij^ dy^ dijn 



dz dz dz dz 



doom d\ji dy^ dyn 



z et les a étant fonction des variables indépendantes x,, ... , aCm, 



2/1» -5 2//:- 



Multiplions ces équations par des quantités quelconques >,, ..., 

 ;,„ et ajoutons les résultats, nous trouverons : 



dz dz 



dz ^ 



-— (^lOii H h A,„ami) -+- 



dy, 



■T-^(>iai»H H)„,«mn)=0 (2) 



dVn 



Toute solution des équations (1) est une solution de (2) et, par 

 suite, égalée à une constante, est aussi une solution des équations 

 simultanées suivantes, qui correspondent à l'équation (2) : 



dXi __ _ dx^ dj/j _ ^ dy^ 



^1 >m -^i^uH HA„,a„,i ^i«i«H \->-mamn 



ou encore des équations différentielles totales que l'on en déduit : 



dî/i = «iid^i -+- OaidoTa H \-a,^idœ,n, (5i) 



<^y2 = «i2^^i-+-«22^^2H i-am^dx^, (Sa) 



dyn — ai^dXi-ha^Jx^-i h a„,ndXm (3„) 



Réciproquement , si une fonction z est telle que sa différen- 

 tielle est identiquement nulle en vertu des équations (3) , il est 

 clair que cette fonction est une solution des équations (1). 



