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générale de(I„J dont nous venons de parler, satisfasse aussi aux 

 autres équations (Ij), ..., (i,H_i) du système. Pour cela, déduisons 

 des équations (4) et (5) les valeurs de 



^1 "> ^2 > • • • > '^n — 1 > Pi 5 • • • » Pn t 



en fonction de 



et substituons-les dans les équations (i). La dernière deviendra 

 une identité, puisque les équations (5), (4) et (5) donnent une 

 intégrale générale de (1„J. Les autres se transformeront en un 

 système de {m — 1) équations simultanées entre yi,y-2, -", ym-i, 

 ^15 •••5 7m- 15 jouissant des deux propriétés suivantes (*) : 



1" Elles ne contiendront plus la variable x„; 



2° Elles satisferont à des conditions d'intégrabilité analogues à 

 l'équation (2), par rapport aux quantités y et q. 



On déduira de ce nouveau système de [m — 1) équations con- 

 tenant {n — i) variables indépendantes, un troisième système qui 

 contiendra une équation et une variable de moins, et ainsi de 

 suite, jusqu'à ce que l'on arrive à une équation unique contenant 

 [n — m) variables indépendantes. 



La méthode générale se simplifie un peu, quand quelques-unes 

 des quantités p manquent dans l'équation /,. = 0. 



89. Démonstration de la première propriété du système trans- 

 formé (**). Soit, après l'élimination de Xy^ ..., a:„_i,^;i, ...,p„, 





dfi clx^ dfi dXn-i dfi §<r _ 



dXi dXn dXn-i dXn dx„ ^x,i 



(*) Toutes les méthodes où l'on procède par élimination conduisent à des 

 propriétés semblables. On en a déjà vu un exemple à propos de la méthode 

 de Pfaff (n» 43). Les recherches de Lie rendront probablement inutiles toutes 

 les démonstrations analytiques des théorèmes de ce genre. 



(**) KoRKi>E énonce les propriétés en question sans les démontrer. 



