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11 résulte de là que l'on doit avoir pour les valeurs de i et de A 

 comprises dans la suite i, 2, 5, .... m : 



{Pi-'Pi,Pk~h) = (3) 



On doit ici distinguer trois cas : 



I. // se peut que Vèquation (3) soit identiquement satisfaite 

 pour toutes les valeurs de i et de k. Dans ce cas, on trouve la 

 valeur de z en se servant de la méthode de Jacobi pour le cas 

 d'une équation aux dérivées partielles isolée, à partir du moment 

 où l'on connaît déjà m, relations entre les p et les x. 



On cherchera donc {n — m) autres relations 



entre les p et les x, et l'on trouvera une solution, dite iîitégrale 

 complète avec {?i — m -+- 1) constantes arbitraires. 



II. On peut trouver, pour une ou plusieurs valeurs de i et de k 



(Pi — "Pi , Pk — 'Pk) = constante , 

 OU 



{Pi - 'Ph Pk — ^l) = ¥ {œi,x.2, ..., ÛOn). 



Dans ce cas, les équations (I) n'ont pas de solution commune, 

 puisqu'il est, ou bien absolument impossible de satisfaire à la 

 condition (3), où bien l'on ne pourrait y satisfafre qu'en posant 

 F = 0, c'est-à-dire en supposant qu'il y a une relation entre 

 les X (*). 



III. On peut trouver pour une ou plusieurs valeurs de i et de k 



(Pi- ^', Pk — à,,) := f{x^, . .. , œn,Pni + i, • ••, Pn)- 



Dans ce cas, il est clair que, si le système donné a une solution, 

 les relations qui restent à trouver entre les x et lesp doivent être 

 telles que l'on ait pour chaque fonction/": 



f{X,,.,.,X,,,îhn+l,...,Pn) = 0. 



C) il y aurait lieu toutefois d'examiner si l'on ne se trouve pas clans le 

 cas des équations semi-linéaires de Lie, dont nous n'avons pu donner plus 

 haut (n" U) que la définition. 



