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123. Simplification de la transformation précédente. Méthode 

 générale de Lie, pour les systèmes simultanés (*). On peut sim- 

 plifier la transformation précédente, au moyen de la remarque 

 suivante. Puisque y n'entre pas dans l'équation (22), on peut, 

 pour faire la transformation, supposer que ?/ reçoive une valeur 

 quelconque. D'autre part (n" 120), d'une intégrale quelconque de 

 l'équation (18), on peut déduire une autre intégrale qui prenne, 

 pour ?/ = î/o, telle forme que l'on voudra. Donc enfin, pour faire 

 la transformation de l'équation (19), on peut prendre, au lieu de 

 la relation (20), la suivante 



ou même, ^ étant quelconque, comme î/o, 



On choisira la fonction <p, de telle manière que les calculs soient 

 les plus simples possibles. 



On peut donc, au moyen de l'intégration complète de l'équa- 

 tion (18), puis, par une transformation, où entre une fonction 'P 

 quelconque, ou bien l'intégrale complète que l'on vient de 

 trouver, ramener la recherche de l'intégrale complète contenant 

 n constantes arbitraires et commune à deux équations (18) et (19), 

 à celle de l'intégrale complète d'une équation (22), contenant une 

 variable de moins. 



De même, on ramène successivement l'intégrale de (^ -+- i) 

 équations à [n -h q) variables indépendantes, et ayant une solu- 

 tion commune avec n constantes arbitraires, à celles de q,(q — 1), 

 {q — 2), ..., 2 équations, contenant respectivement (n -{- q — I), 

 [n-\-q — 2), (« -+- q — 5), ..., {n-\-\) variables indépendantes, et 

 enfin à celle d'une équation contenant n variables indépendantes ^ 



Remarque. C'est au moyen de la méthode de Bour que l'on 

 constate que le système a une solution contenant un nombre de 

 constantes arbitraires égal au nombre des varial)les moins celui 



(*) [Maylr appelle la remarque de ce numéro théorème IV, et en donne la 

 démonstration dans le mémoire cité, § 4 (Malh. Ann., pp. 176-177).] 



