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En substituant les valeurs (14) et (15) dans (9), il vient à cause 

 des équations (fi) identiques à (14), et de (7) : 



Sx 



^-"-(ê-")=''' 



ce qui démontre la première moitié du théorème énoncé. 

 Soit maintenant 



Z' = Z'^-\-¥' {X\,..., Xn^X,Xn,(\,. ..,€'„-{) (16) 



une intégrale complète de (9). Posons : 



z = z,-^-Y\-¥'-^'f, (17) 



en appelant Fé l'expression 



Éliminons ensuite, de la valeur de z, les quantités c[, ..., c^_i, 

 X,', ...,x^_i, au moyen des équations : 



<?f;_jf' jf; _ ^f' 



Sc\ Sc\ Sc'n-i SCn-V 



dF' Sf ^F' Sf 



rJx\ SX\ rJx'n-i Sx'n-i 



La valeur de z^ après cette élimination, sera une intégrale de 

 réquation (8). En effet, on trouve, comme plus haut, pour 



X == Xi, ... , x„ _ 1 , 



dz S'^ 



dx Sx 

 et ensuite 



dz _ dF' Sf ^ Sf 



dX,i dXn Sx,, àXn 



En substituant ces valeurs dans l'équation (8), elle est satisfaite 

 identiquement. 



Remarques. I. Si Ion fait x,^ = x„o dans les solutions précédentes 

 on trouve, comme au numéro précédent, que les solutions z aiz 

 déduites de F' et F, se réduisent respectivement à 



^0+ f (^1 ,..., •3:«-l , X„ç,,x\^,..., Xn-i,(i), 

 Z'o-^f{X,^.....,Xn~\,Q,X„^,X\ , ... , X'n-i). 



