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 l'équation donnée. Remplaçons q par sa valeur dans 



dz = iidx -+- qdy ; (2) 



il viendra 



dz = pdx-\- K{x,y,z,p)dy (o) 



La méthode de Lagrange, sous sa première forme, consiste à 

 chercher, en général par tâtonnement, une valeur de p conte- 

 nant une constante arbitraire a et rendant l'équation différentielle 

 totale (5) intégrable; puis à en déduire z avec une seconde 

 constante arbitraire b. 



Autrement dit encore, et sous une forme plus générale, on 

 doit chercher une relation autre que (1) entre x, y, z, p, q, 

 contenant une constante arbitraire, et telle que les valeurs de p 

 et q qu'on déduit de cette relation et de (1), rendent l'équation (2) 

 intégrable (*). 



La méthode s'étend sans peine à un nombre quelconque de 

 variables. Soit 



f{Z,Xi,...,Xn,Pi..--^Pn} = ^, OU p„ = ^ {Z;X^, . . . , Xn,2hr ", P»-i) , (!') 



l'équation donnée. Remplaçons p„ par sa valeur dans 



dz z= PidXi -h p^dx^ H h Pnd3['„ ; (2') 



il viendra 



dz = PidXi -t- p^dx^ H h rdXn (3') 



11 faudra trouver pour p^, pa? •••> />n-i des valeurs contenant 

 chacune une constante arbitraire et rendant (5) intégrable. Plus 

 généralement, il faut trouver (n — 1) relations contenant cha- 

 cune (/^ — 1) constantes arbitraires et donnant, avec (4) , pour 

 Pli Pit —iPni des valeurs qui permettent d'intégrer l'équation (2'). 

 Telle est la méthode de Lagrange, sous sa forme la plus géné- 

 rale. Nous allons montrer, sur quelques exemples, que l'on peut 

 déjà, au moyen des indications qui précèdent, intégrer des équa- 

 tions assez compliquées. 



{*) Lagrange, dans son premier mémoire, a indiqué la méthode générale 

 pour trouver celte seconde relation, mais sans pouvoir la faire aboutir en 

 général, puisqu'il ne possédait pas alors Tintégralion des équations linéaires. 



