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sées explicites dans cette dernière, sont supposées sous forme 

 implicite dans la formule dont nous parlons. Nous croyons inutile 

 de l'écrire. 



31. Intégration du système (6). Si dans le système (6),Zi,...,Z„j. 

 Xt, ...,X„, sont des fonctions quelconques, pour intégrer ce sys- 

 tème, on cherchera d'abord les N intégrales 



ttj = a^ , Wg = «2 • • • • 5 Wn = «N , 

 des équations 



dZi dz„i dXi dXn 



Toute fonction F des quantités u satisfera aux équations (5) et par 

 suite égalée à 0, aux équations (6). On pourra donc prendre pour 

 système intégral des équations (G), m relations de la forme F = 0. 

 Réciproquement toute équation 



qui satisfait avec (m — \) autres, au système donné (6), est de la 

 forme (1). 

 En effet , on aura : 



Sj^ ^d^ ^'P dz,„ _ 



•^x^ ^Zi dXi ^z,n dx^ ' 



^d) â<l^ dz. ^ô dz,n 



1 1 1 =:0. 



^Xn ^Z^ dXn ^Z„i dX^ 



Multiplions ces équations par X,, X2, ..., X„,, et ajoutons les pro- 

 duits. Il viendra, en tenant compte des équations (6) : 



dZi àZ^ àZ,„ àXi àX^ dX,^ 



Cette équation donne, avec les équations (3), où l'on fait 



^1 > • • • 5 *m > «^Ij • • • > '^'J 



ce qu'il fallait démontrer (*). 

 (*) Cette réciproque n'est pas donnée par Jacobi. 



