( CO) 



Il est facile de simplifier ces relations. On a, pour chaque va- 

 riable X, 



'El ElÉîi EiË^=o 



dx dz-i dx dz,n dx 



c/F,„ d¥,n dz, d¥^dZr,, ^^ 



dx dZi dx dz,n dx 



Multiplions ces relations par 



A,i, A,-2, .. . , A,„, , 



et ajoutons, elles donneront 



f/F, dF„j, dZi 



dx dx dx 



A cause de cette équation (5), les équations (4) prennent la forme 

 très-simple découverte par Jacobi : 



Z. = X,^+X,^ + ...H-X„^, (6.) 



dXi dx.2 dXn 



Z,„=X,- hX^- 1 V-\n-— ^^"'> 



dXy dx.2 dXn 



30. [Démonstration directe des formules (6). Voici une dé- 

 monstration directe des m formules (6), qui n'a pas été remarquée 

 encore, croyons-nous. Le déterminant fonctionnel 



est nul, parce que les {m -h n) fonctions i^i, ..., u^i et 2,, des varia- 

 bles Zi, ..., 2,„, X,, ... , ic„ ne sont pas indépendantes, puisqu'il 

 existe entre elles m relations (1). L'équation, qui exprime cette 



dépendance, savoir 



s, = o, 



est précisément l'équation (6,).] 



Si l'on remplace les A, par leur valeur, dans chacune des équa- 

 tions (4), on arrive à une formule remarquable de la théorie des 

 déterminants fonctionnels. Elle exprime la même chose que 

 l'équation S,= 0, mais les relations entre les z et les «, suppo- 



