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où entre l'un 3 quelconque des fonctions F. Comme la fonction F 

 dépend des fonctions u , ce déterminant sera nul. Donc 



dF clF dF f/F 



Z, — H hZ,„-— 4-X,— --^.--t-X^— -=0,. . . (3) 



dZi dz,„ dXi dXn 



en appelant Z,, ..., Z„,, Xi, ... , X„, les déterminants mineurs de 

 R, de sorte que 



X,- = (— 1 )»'•+'■ ^'D 





L'équation (3) est équivalente aux m équations : 



dz^ dz„, dXi dXn 



^1 — 1 h l,n H- A, — 1 H A„ = U . . . {O,,,} 



dZi dz„i dxi dx,i 



Considérons maintenant le déterminant fonctionnel 



F,,...,F„, dFi dFg dF, dF^ 



Zi,.,.,z,n dz^ dz, dz^ ' dz^ 



où les A,x désignent des mineurs dont la valeur est donnée par la 

 formule 



A,, = (- 1 ).+' D F.--F-.F.-H'.-.F-.. . 



On aura donc 



dF, dF„ 



. dF, dF^ 



An -— -+- A21 h • • • = 0, etc. 



dz-z dz. 



Multiplions les équations (5) respectivement par A^, A21, -.oA,,,!? 

 puis par Ajg, A22, ..., A,„2, etc., et ajoutons, il viendra : 



Z.A + k,-fA„^+...+A„.,^]=0, (4.) 



1 V dXi dXi 



Z„.A-t-2X,- A„„- 1 H A,»,.,—— =0 



1 \ dXi dXij 



'"'»■ - (4„,) 



