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directrice (14). les valeurs des {u-^i ) coordonnées z, x,, X2, ..., x„ 

 devront être identiques. On trouvera donc la condition 



F(ai,a2,...,a„) = 



en éliminant ces coordonnées entre les équations (13) et (14). 



Supposons encore que la variété F doive avoir une variété 

 linéaire à ?i dimensions, tangente commune avec une variété à 



il dimensions donnée : 



F,{z,x^,...,x„) = (1d) 



Le long de la variété de contact, les valeurs des quantités p 

 seront communes à F et F,. On aura donc : 



^F. ^F, ^Fj 



'J ^ à X^ à X II 



Les équations (15) et (16) donnent la variété de contact à (n — 1) 

 dimensions. On éliminera z, Xj, X2, ... , x„ entre les équations 

 (13) (15)(16) et on trouvera encore la condition F (a,, «2, ...,«„) 



= C). 



27. Exemples. 1. « Soit proposée l'équation entre quatre 

 variables 



Uj -h t -i- z) — -h {X -{- 1 -\- z) — + {X -^ y -^ z) --=: X -{- y -\- t. 



y-^l-^z 



{*) Les auteurs se sont bornés, jusqu'à présent, à la recherche de F dans le 

 cas où Ton se donne la condition (10), ce qui est naturel, puisque l'idée d'une 

 géométrie à (?i-t- 1) dimensions est toute récente. Cependant Cauchy, vers la 

 fin du mémoire que nous analysons plus bas (livre III, ch. I), s'impose des 

 conditions un peu plus générales que (10). Les recherches de Lie, qui sont la 

 continuation naturelle de celles de Gal'Chy, reposent essentiellement sur la 

 géométrie à (71-4- 1) dimensions. [Comparez la note du n» 4, p. 6.] 



