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 Ces équations expriment, non-seulement (juc les équations 



u^ = ai, ii^—a^,..^u„ = an, (6) 



sont, chacune prise à part, une intégrale de l'équation (2), ce 

 que nous savions déjà, puisque la forme de F est arbitraire, mais 

 aussi que, prises ensemble, elles constituent le système intégral 

 des équations simultanées : 



dz dXi dœ.2 dœ,, 



' iV 



Si l'on multiplie (5,) parg-^, (5,) par g;,..., (5„) par ^, 

 ces multiplicateurs étant les dérivées partielles d'une fonction 

 'f(ui, î(i, ..., u„), et si l'on ajoute les résultats, il vient 



Z h Xj — - H H X„ = 0. 



dz f/j*! dXn 



Il résulte de là que l'on peut encore prendre, pour système inté- 

 gral des équations (7), n relations distinctes de la forme : 



i3i(ui,?/2,...,z/„) = ^i,..., 'r„(î^i, (/2,...,iO=^«' • • • (8) 



et, en effet, on peut déduire de celles-ci les relations (5). Déplus, 

 les équations (8) étant de la forme (1), satisfont à l'équation (^). 

 On voit donc qu'il y a une correspondance exacte entre les équa- 

 tions (i>) et (7), ce qui lie étroitement les solutions de celles-ci à 

 la solution de celle-là et réciproquement. 



On peut établir directement cette correspondance entre les équa- 

 tions (:2) et (7) comme suit. Supposons que Z, X,, ... X„ soient des 

 fonctions quelconques de z, x,, ... x„, et soient 



Wi = «i, t/2 = r/2, ..., ^^, = a„, (6) 



des intégrales distinctes des équations 



