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 que Ton en déduil, donnent identiquement : 



A(J^, !/,-!, Pi. 7,) = 0, (10') 



appartient à l'une des trois classes de solutions indiquées plus 

 haut. En effet, déterminons (( et 6, par les relations : 



P = Pi, Q = Qi^ (11') 



p et g étant les valeurs déduites de (2'). En comparant l'équa- 

 tion (10') à 



f{x,y,z.,p,q) = 0, (5') 



et tenant compte de (1 1'), il viendra : 



On prouvera ensuite, comme plus haut, que les valeurs a et h 

 déterminées par les équations (ii') satisfont aux équations (4'j, 

 ce qui achève la démonstration du théorème (*). 



RE51ARQUE. L'intégrale générale, donnée par les équations (1') 

 (7') (8') ne comprend pas, en général, la solution singulière, 

 donnée par (!'), (6'). En effet, les équations (7') (8') donnent le 



plus souvent : 



dz dz 



da db 



là Jb 



qui n'a pas pour corollaires les équations (6). 



L'intégrale complète peut se déduire de l'intégrale générale, en 



(*) Les explicalious de ce numéro auraient été inutiles, si Imschenetskv, 

 §6, pp. 18-19, GRAiNDORGE,n« 10, pp. 7-9, n'avaient laissé de côté le dénomi- 

 nateur-^- . On sait, par la théorie des solutions singulières des équations 

 différentielles ordinaires, que Ton doit soigneusement éviter de faire dispa- 

 raître les dénominateurs de ce genre, parce que seuls, très-souvent, ils 

 conduisent à la solution cherchée, quelque forme que l'on donne à la fonc- 

 tion F, quand les infinis de ^ sont à une distance finie. Darcoux (Bulletin 

 des sciences mathématiques et astronomiques, t. IV, p. 158, note 2) a 

 méconnu l'importance de cette remarque. 



