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Géométriquement, l'équation (5) exprime une propriété des 

 plans tangents aux surfaces représentées par l'intégrale complète, 

 ou des enveloppes de celles ci, que donne l'intégrale générale, 

 ou enfin des enveloppes d'im autre genre représentées par l'inté- 

 grale singulière. Les premières enveloppes touchent les sur- 

 faces (i), chacune suivant une courbe donnée par les équations (1), 

 (7), (8) , les secondes en des points donnés par (i) et (G). 



7. Toutes les intégrales de l'équation (3) sont données par {\), 



(l)e«(6),oi*(l),(7), (8). Soit 



z. = ^{x,ij) . (9) 



une relation satisfaisant à l'éq^uation (5), c'est-à-dire telle que 



M^.?/) = ^^^,2/,-,-j .(10) 



soit une identité. Posons : 



^F _ (?^ <JF _ Ip 



et tirons de là les valeurs de a et 6, qui seront constantes ou non. 

 Pour ces valeurs de a et 6, on aura identiquement, puisque F est 

 une solution de (3) : 



( ^F ^F\ 

 F (.,,,«, 6)=,^., ,,_,-]; (,2) 



ou, à cause des relations (10) et (11) , 



F{œ,y,a,b) = à{œ,ij) (13) 



Ainsi l'équation (9) devient identique à l'équation (i), si a et 6 ont 

 les valeurs déduites des équations (H). De plus, ces valeurs de a 

 et b satisfont aux équations (4), si elles ne sont pas constantes. 

 On a, en effet, pour ces valeurs de a et 6 : 



^F ^F da JF db êp 



p =. \ 1 :=: — , 



'^x Sa dx Sb dx Sx 

 __ SF SF da SF db _Sp ^ 

 Sy Sa dy Sb dy Sy 



