( î> ) 



mais sont seulement en nombre oo""'. Les figures correspon- 

 dantes ne sont donc pas des intégrales. 



Les équations (a) et (G) du n" 2, qui donnent oo""^' éléments de 

 l'équation (4), transformée de (1 ), n'en donnent plus que oo" quand 

 on suppose F constant. De même l'équation (12) du n° 5 et les 

 valeurs de Jl , ^, ... , ^ que l'on en déduit, représentent oo"+* 

 éléments de l'équation (il), et donnent, par suite, une intégrale de 

 cette équation (M); mais si l'on suppose l'existence de la rela- 

 tion (15) ou (9), ces éléments ne sont plus qu'au nombre de oo", 

 et donnent une intégrale de l'équation (1). 



§ 2. €iénéÊ*atio»» dfs éqnttliotis à tfois rafiables. Théoiric 

 tic fjagvnnge ('). 



6. Génération de ces équations, de trois manières différentes. 



Soit 



z = F{x,y,a,b) (1) 



une relation entre x<,y, z^où entrent deux constantes arbitraires 

 a et b. On déduira de là : 



2) = F'jx,y,a,b) q=¥\j{x,ij,a,b) (2) 



Éliminant o et 6 entre ces trois équations, on aura 



f[x,y,z,p,q)^Q, ou s = -^ (a:, ?y,p, r/), (3) 



équations aux dérivées partielles du premier ordre. 



(*) La distinction des trois sortes d'intégrales des équations aux dérivées 

 partielles du premier ordre est due à Lagrange (Mémoires de Berlin, 1772, 

 Œuvres, t. III, n« 12, p. S72 ; 1774, OEuvres, t. IV , n" 41 , p. 65, n° 47 , 

 p. 74; Leçons^ etc., pp. 567 et suivantes). Voir aussi, Pfaff (Mémoires de 

 Berlin, 1814-1815), pa^sfm, et Jacobi, Veber die Pfaff'sche Méthode, etc. 

 (Journal de Crelle, t. II, pp. 548-549), et surtout, Vorlesungen, pp. 471-509. 

 Nous nous servons principalement ici de l'exposition d'iMSCHENETSKY, cha- 

 pitre I, pp. 9-19. Graindorge, I, pp. 1-9, est moins complet. 



Nous recommandons au lecteur une exposition plus simple de cette théorie, 

 donnée plus bas à propos des équations simultanées, et qui ne semble pas 

 avoir été remarquée (n° 12). 



