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et constiluc avec le point lui-même un élément de l'espace, dé- 

 terminé par les (2/i -4- 1) coordonnées : 



L'espace contient oo-"''''' éléments. La figure représentée par l'équa- 

 tion 



est l'ensemble des éléments, en nombre oo^" qui satisfont à ceCte 

 équation. Ces éléments sont dits les éléments de l'équation ou de 

 la figure correspondante. 



5. Nouvelle manière d'envisager l'intégration des équations 

 aux dérivées partielles. Pour Lie, intégrer une équation aux déri- 

 vées partielles, à trois variables, par exemple, 



/■(^,.V,^,P,9) = 0, (16) 



c'est trouver toutes les figures contenant txi^ des oo* éléments 

 représentés par cette équation, et telles que deux éléments infi- 

 niment voisins satisfassent à l'équation 



dz=2KÎx-\-qdy (17) 



De même, intégrer une équation à (/i h- 1) variables 



f{z,œi,...,œn,Pi,...,p,^) = (i, (1) 



ccst trouver toutes les figures contenant oo" des oo^" éléments 

 représentés par celte équation , et telles que deux éléments voi- 

 sins satisfassent à l'équation : 



d3=p,cto^H ^ p,^dxn . (18) 



Si dans l'équation (IC), on suppose x, ?/, - constants, p, q varia- 

 bles, les éléments, obtenus ainsi, satisfont à l'équation (17), puis- 

 que l'on a : 



dx=zO, dy^O, dz = 0', 



mais ces éléments ne sont qu'en nombre simplement infini. De 

 même les éléments représentés par l'équation (1) quand on y 

 regarde le point comme fixe, satisfont à la condition (1<S). 



