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4. Définition d'une équation aux dérivées partielles , d'après 

 Z/e(*). Quand on considère une variable x, qui varie de — oo à-t- oc, 

 ou, plus généralement, qui prend toutes les valeurs imaginables, 

 on dit qu'elle est susceptible de recevoir un nombre infini de 

 valeurs. On peut dire, de même, que le système des deux variables 

 jc, ?/, peut prendre oc^ valeurs, que le système des trois variables 

 X, ?/, z, peut prendre oo^ valeurs, et ainsi de suite. En général, 

 dire qne le système 



-»• , Xi 5 . . . , Xn , 



peut prendre oo""^* valeurs, signifie que chacune des variables peut 

 recevoir toutes les valeurs imaginables. 



Si deux variables x, y , sont liées par une équation 



f{x,y) —0, 



X peut prendre oo valeurs, et à chaque valeur de la variable x en 

 correspondra seulement un certain nombre de la variable y, dans 

 ce cas, on dira que le système [x,y) n'a que oo valeurs, et non oe- 

 comme dans le cas précédent. De même, {n-\- 1) variables liées 

 entre elles par i,2,...,« relations seront dites avoir oc", oc"-',..., oc 

 valeurs. 



Si l'on regardre x, ?/, ;:;, comme les coordonnées d'un point 

 dans l'espace, l'ensemble des trois coordonnées x^y, z peut aussi 

 être appelé point, et l'on pourra dire que l'espace contient oo^ 

 points, une surface oj^ une courbe oo seulement. On peut conve- 

 nir d'appeler points d'une manière générale, l ensemble de (« -4- 1 ) 

 valeurs (^, Xi, ... , x„) dites coordonnées , et espace à (n -+- \)dimen- 

 sionSj l'ensemble des points qui correspondent à toutes les va- 

 leurs possibles de ces coordonnées. Si l'on considère parmi les oo"+' 

 points de l'espace à(/i -t- 1) dimensions, ceux dont les coordonnées 



satisfont à l'équation 



f{z, a;i,...,.rn) = 0, 



(*) LiE,Nachrichteii de Gôtlingen, 1872, u>' 16, pp. 521-526, n» 25, pp. 475- 

 489, et pp. 151 s(iq. du grand Mémoire : Uehcr Complexe, insbesondere Linien- 

 vnd Kugelcomplexe , mil Anwendung au f die Théorie partieller Differen- 

 lialgleichungen {Mathematische Annalen, t. V, pp. 145-236). [C'est Cauchy qui 

 s'est occupé, le premie'r, des espaces à un nombre quelconque de dimensions 

 (Comptes rendus, t. XXIV, pp. 885-887).] 



