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J3, X,, Xa, ... , x„, telles que les valeurs de z, p,, p^,..., p„ que l'on 

 en déduit, rendent cette équation (1) identique. 



Plusieurs équations de même forme que l'équation (i) forment 

 un système simultané d'équations aux dérivées partielles du 

 premier ordre, soit qu'il y entre une seule fonction inconnue z et 

 ses dérivées, ou qu'il y en ait plusieurs. Les géomètres s'étant 

 presque exclusivement occupés du premier de ces deux cas, nous 

 nous bornerons ici à l'étude des équations simultanées qui ne 

 contiennent qu'une variable dépendante. 



Intégrer un système d'équations simultanées analogues à 

 l'équation (i), c'est encore trouver toutes les relations entre 

 z, Xi,Xi, ...,x„, telles que les valeurs de z, p^p^, ..., p» que l'on 

 en déduit, rendent ces équations identiques. 



2. Première méthode de transformation. Qu'il s'agisse d'une 

 équation unique, ou d'un système, il est souvent utile de trans- 

 former les relations données en d'autres qui contiennent une 

 variable indépendante de plus, mais où la nouvelle variable 

 dépendante n'entre que par ses dérivées partielles. Jacobi a donné, 

 pour atteindre ce but, deux méthodes de transformation que 

 nous allons faire connaître, en nous bornant au cas d'une équa- 

 tion unique (*). 



Soit une équation aux dérivées partielles : 



f{z,X^,X,,...,œn,Pi,P,,.^.,Pn) = 0, (1) 



et 



¥{z,x^,x^,....Xn) = 0,. (2) 



(*) La première méthode se trouve dans le mémoire de Jacobi, intitulé : 

 Dilucidationes , etc. (Journal de Crelle, t. XXIII , pp. 18-20); l'autre, dans sa 

 Nova methodus , § 1, et dans les Vorlesungen, leçon 51, p. 237. Cette seconde 

 méthode est beaucoup moins pratique que la première, mais elle n'est pas 

 illusoire, comme l'ont prétendu Boole, On the differential équations of 

 dynamics (Philosophical Transactions, 1865, pp. 485-501) , p. 489, Bertrand. 

 dans ses leçons au Collège de France, en 1852, 1855, 1868 (Graindorge, 

 Mémoire, elc, p. 16, note), et, d'après lui, Imschenetsky, p. 45, Graindorge. 

 p. 16, et Mayer (Mathematische Annalen, t. III, p. 457). Ces géomètres ont 

 attribué à Jacobi une erreur qu'il n'a pas faite, celle de vouloir éliminer deux 

 quantités y et t entre deux équations. Jacobi war dock nicht so kurzsicittigj 

 lisait Clebsch à propos de cette prétendue erreur du grand géomètre. 



