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deux idées principales; l'une est le changement de variables, 

 qu'il semble emprunter à Ampère, plutôt qu'à Lagrangc ou à 

 Pfaff, car il paraît avoir ignoré les recherches de celui-ci; l'autre 

 est l'introduction immédiate dans le calcul des valeurs initiales 

 des variables, comme on le fait dans la théorie des intégrales 

 définies. Si les recherches de Cauchy n'étaient antérieures à celles 

 de Jacobi sur la méthode de Pfaff, on les prendrait pour une 

 exposition simplifiée de tous les travaux analysés dans notre livre 

 premier, y compris la théorie des équations linéaires de Lagrange. 

 Quand il s'agit de trouver les intégrales de ces équations, sup- 

 posées à trois variables, Lagrange et Monge cherchent d'abord les 

 courbes qui peuvent engendrer les surfaces représentées par les 

 intégrales. Une idée analogue donne à Cauchy les courbes ou 

 variétés à une dimension, appelées caractéristiques par Lie, qui 

 engendrent, pour ainsi dire, l'intégrale des équations non linéaires. 

 Pfaff et Jacobi étaient forcés, dans la suite de leurs calculs, 

 d'égaler à des constantes n de leurs (2>i — i) variables auxiliaires. 

 Cauchy, dès le début, ne prend que (n — 1) variables auxiliaires, 

 et il suppose immédiatement que ce sont les valeurs initiales des 

 anciennes variables, ce qui le dispense du circuit par lequel 

 Jacobi est arrivé, plus tard, au même résultat. Cauchy a donné une 

 forme plus générale à sa méthode, en 1841 ; les valeurs initiales 

 des variables peuvent être à volonté de nouvelles variables ou des 

 constantes d'intégration. C'est ce travail de i841, auquel on n'a 

 pas accordé suffisamment d'attention, qui est la base de notre 

 exposition. Nous avons pu, grâce à lui, donner, avec une entière 

 rigueur, la théorie de l'intégration d'une équation aux dérivées 

 partielles, dans les cas les plus singuliers, par exemple, dans le 

 cas des équations semi-linéaires de Lie (1872), rencontré inci- 

 demment par Serrel en 1861; l'intégrale de ces équations est 

 donnée par m relations entre [n -\- \) variables et n constantes 

 arbitraires. Mayer a montré, en 1871, que la méthode de Pfaff, 

 modifiée par Jacobi , ne donne jamais l'intégrale complète des 

 équations homogènes par rapport aux quantités p; il en est de 

 même de la méthode primitive de Cauchy. Mais quand on laisse à 

 cette méthode toute son élasticité, si j'ose ainsi dire, elle conduit. 



