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Pfaff, dès 1814, avait suivi précisément une route inverse, 

 comme nous le montrons dans le chapitre suivant. Pour intégrer 

 réquation 



il considère l'équation différentielle totale 



dZ = p^dXi -t- ... -t- Pn-\dXn^i -4- ^dXn 



à 2>? variables, z, x,, ..., x„ , p, , ..., p„_i, et la transforme en une 

 autre de même forme à (2w — \) variables. C'est précisément celle 

 que Jacobi a trouvée en généralisant les dernières recherches de 

 Lagrange, et Pfaff y arrive en intégrant le même système d'équa- 

 tions que Jacobi. Les deux méthodes sont donc identiques, sauf 

 que l'une est, plus clairement que l'autre, la généralisation de la 

 méthode de Lagrange, et que Pfaff traite, en outre, le problème 

 général de l'intégration des équations différentielles totales, qui 

 porte son nom. Dans notre exposition des travaux de Pfaff, nous 

 nous aidons de divers écrits de Gauss, de Jacobi et de Cayley. Le 

 dernier paragraphe du chapitre IV contient, outre le problème 

 inverse de Pfaff, la simplification introduite dans toute cette 

 théorie, par l'emploi des valeurs initiales des variables comme 

 constantes arbitraires. Le problènie général de Pfaff conduit à 

 intégrer n systèmes d'équations simultanées donl chacun ne peut 

 être formé qu'après l'intégration complète de tous les précédents. 

 Jacobi, en ISôG, profitant d'une idée de Hamilton, montra que 

 l'on peut former immédiatement ces n systèmes, si l'on prend , 

 comme nous venons de le dire, les valeurs initiales des variables 

 pour constantes arbitraires; de plus, s'il s'agit de l'intégration 

 d'une équation aux dérivées partielles, il n'y a plus qu'un sys- 

 tème à intégrer. Cauchy, longtemps auparavant, en 1818, était 

 arrivé à ce dernier résultat, en employant aussi les valeurs ini- 

 tiales des variables comme constantes. C'est à lui, d'ailleurs, quest 

 due l'introduction de cette idée dans la science, mais Jacobi 

 semble avoir ignoré les travaux de Cauchy. 



Tel est le cycle des recherches exposées dans notre livre pre- 

 mier. Nous avons joint à chaque théorie les applications que l'on 



