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ordre (voir le n° 52). En passant ^ nous avons fait connaître sous 

 quel point de vue Lie considère les équations linéaires (n° 23). 



Le second chapitre contient l'analyse des travaux de Lagrange 

 sur les équations non linéaires. C'est en 4772 que le géomètre de 

 Turin trouva le moyen de ramener l'intégration des équations 

 non linéaires à trois variables à celle des équations linéaires à 

 quatre variables. Il revint sur le même sujet en 1774, pour faire 

 connaître les diverses intégrales des équations aux dérivées par- 

 tielles, et en 1806, pour expliquer un singulier paradoxe que pré- 

 sente la théorie de l'intégrale générale. Nous faisons connaître la 

 méthode de Lagrange sous ses diverses formes. En premier lieu, 

 le grand géomètre observe qu'intégrer l'équation 



c'est trouver une valeur de p, telle que 



dz = pdx -{- Kdy 



soit intégrable. Ensuite, il indique le moyen général pour trouver 

 une valeur de p avec une constante arbitraire, ce qui est le germe 

 de la méthode de Jacobi. Enfin, il montre comment on peut 

 déduire la valeur la plus générale de js, de la valeur la plus géné- 

 rale de p, ce qui est le germe de la méthode de Pfciff. 



Jacobi, en eiïet, en appliquant la méthode de Lagrange, sous 

 sa dernière forme, aux équations à n variables indépendantes, a 

 été amené, en 1827, à refaire en sens inverse tous les calculs de 

 PfaflF. Nous exposons ce curieux travail de Jacobi dans notre cha- 

 pitre IIL Le géomètre de Berlin ramène lintégralion d'une équa- 

 tion non linéaire à celle d'un système d'équations simultanées 

 dont la solution est plus générale que celle de l'équation donnée. 

 Pour particulariser cette solution et en déduire l'intégrale cher- 

 chée, il est forcé de faire un changement de variables : (2/i — 1) 

 variables x,, ..., x„, /)), ..., p„_, sont remplacées par les constantes 

 de l'intégration des équations simultanées auxiliaires, et la ques- 

 tion se ramène dès lors à lintégration d'une équation différen- 

 tielle totale à (2?2 — i) variables. 



