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II. Un cas remarquable , où il est facile de trouver des fonc- 

 tions y satisfaisant aux conditions indiquées plus haut, est celui 

 où les variables sont dites séparées. Nous prendrons un cas parti- 

 culier pour nous faire comprendre. Supposons une équation aux 

 dérivées partielles : 



ou 



Ei{œi,...,Xn,Pi,...,Pn,?, 'P, X) = «1, 



ô = d>{t^,..., tk,i\,r^,...,rk), 



% = %(Wi, ...,W/,5i,S2,...,sO, 



dz dz dz dz 



dx dy dt du 



de sorte que H,, ç», i^, % contiennent toutes des variables indé- 

 pendantes différentes. 

 Il est clair que Ton aura. 



{?, ^) = 0, ('f,%) = 0, i'^, x) = o. 

 Par suite, on pourra poser 



Appelons Zi, z.^, z-^, z^ les «intégrales de ces quatre équations qui 

 pourront se chercher indépendamment les unes des autres. La 

 solution complète de l'équation donnée sera 



En effet, en premier lieu, on déduira de là, précisément les 

 mêmes valeurs pour les p, les ^, les r, les s que de Zi, z^^ z-, z^; 

 ensuite le nombre des constantes arbitraires sera [n -4-J -4- A' h- l). 

 Car dans Zi entrent (^i — 1) constantes arbitraires, dans^g? [j — ^) 

 et en outre «g, dans %, (/: — 1 ) et en outre aj, dans js*, (/ — 1) et 

 en outre dans «4. Donc, en comptant encore la constante a, il y 

 aura {n -\- j -^ k -¥■ l) constantes arbitraires. 



