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III. Ces précieuses remarques nous permettent de traiter 

 systématiquement quelques cas remarquables, déjà étudiés par 

 la méthode de Lagrange (§ 8, n" 54), qui, au reste, conduit au 

 résultat général que nous venons d'exposer : 



1° L'équation 



a pour intégrale 



les constantes arbitraires a satisfaisant à l'équation 

 /^(ai, a,» •••, ««) = 0. 

 On ramène à ce cas celui où l'équation est de la forme 



Z = fiPi^P^: ...,p„)=:0, 



au moyen de la transformation du n" 2. En particulier, si z est une 

 fonction homogène des quantités p de degré ii , il vient 



=('-fr 



[/■(«l,«2,---,««)]^'~' 



2" L'équation 



/■(P1,P2,---, PJ=0, 



OÙ fj ne contient que x,et/)/, a pour intégrale : 



^i étant la valeur de pi déduite de ^i= o, et les constantes a étant 



liées par la relation 



/^(rti,a2,..., a„) = 0. 

 5° L'équation 



z ■=■ f [X^ , 3^2 , ...^XmPit Pxi ■••■) Pnif 



OÙ /' est une fonction homogène de degré p-, par rapport aux p, 

 devient, en appelant m = la solution complète et posant : 



Jw Su iSu 



-<l'n+i = {- If f{x,,x^, ..., a^„, ?., 'A, ..•. ?«). 



