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 On trouve immédiatement pour intégrale : 



?=^(S) 



21. De quelques équations que l'on peut rendre linéaires {*). 

 I. Soit, en premier lieu, l'équation : 



^A iP; q^^~ px — qij) -\- ijf^ (j), q, z —px - qy) h- ^ {p, q, « —pr - qij) = 0. 



Posant : 



u = z—px- qij , 

 on aura : 



(lu = — œdp — ydq; 



et, par suite, si Ion prend, p et q pour variables indépendantes : 



du du 



Par conséquent, l'équation devient : 



du du , 



X, A (p, (h ") -H — A {p, (h '0 = A (P»9> «)• 



Celle-ci étant linéaire, on pourra en trouver l'intégrale. On tirera 

 de celte intégrale les valeurs des dérivées par rapport à p et à ^; 

 on les égalera à x et à y; puis , entre les équations ainsi obtenues, 

 et u = (z — px — qy) , on éliminera n , p et q. 



(*) Lagrange, Mémoires de Berlin, 1774, OEuvres, t. IV, iv 55, p. 85; 

 Lacroix, t. II, p. 558, t. III, p. 708. Chasles, Rapport sur les progrès de la géo- 

 méirie, pp. 90-91, Paris, 1870, indique divers travaux sur les équations de ce 

 genre, en en attribuant la découverte à Monge. Voir, en outre, une note de 

 M. Orloff, Bulletins de Bruxelles, 2^ série, t. XXXIII, pp. 11 51 22, puis Lie, 

 Mathematische Annalen, t. V, p. 159, qui en donne une interprétation, au 

 point de vue de la géométrie moderne. On appelle souvent transformalion de 

 Legendre, la transformation effectuée ici. [Plï'cker s'occupe de rinlerpréta- 

 lion géométrique de la tranformation de Legendre, dans ses Analylisch- 

 geometrische Enlwickelungen. (Essen, 1851), p. 265, et dans le Journal de 

 Crelle, l. IX, pp. 124-15-1.] 



