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et, par suite, Tintégralc de l'équation aux dérivées partielles est : 



a^ cos a -+- // cos |3 -+- s cos 7^ = f {x^ -\- rf -\- z^). 



L'équation aux dérivées partielles exprime que les normales, le 

 long d'un parallèle de la surface, rencontrent l'axe de révolution 

 en un même point (*). 



V. Trajectoires orthogonales (**). Si 



représente, en coordonnées rectangulaires, une série de surfaces 

 correspondant aux diverses valeurs de /:, l'équation 



-^F ^F ^F 



sera la condition pour qu'une autre surface dont le plan tangent 

 a pour coefficients de direction/), </, — I , lui soit normale. Si l'on 

 élimine k entre les deux équations précédentes, l'équation résul- 

 tante sera l'équation aux dérivées partielles des trajectoires ortho- 

 gonales de la surface donnée. Celte équation, comme on le voit, 

 sera du premier ordre. 



Comme exemple, considérons les ellipsoïdes. 



L'équation aux dérivées partielles des trajectoires orthogonale? 



sera 



X y z 



(*) C'est MoNGE, si nous ne nous trompons, qui a donné le premier les 

 équations aux dérivées partielles des diverses sortes de surfaces. Voir ses 

 Feuilles d'Analyse appliquée à la géométrie, à l'usage de l'École polytech- 

 nique , publiées la première année de cette école {an III de la République) , 

 n"» 4, 5 et 6 et tous les traités de calcul inîmitésimal. 



(**) Lagrange, Mémoires de Berlin, 1783, p. 189, n« 16. 



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