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On trouve, sans peine, que cette dernière équation, qui exprime 

 que le plan tangent au cône passe par le sommet, appartient 

 exclusivement aux surfaces coniques; autrement dit, que l'équa- 

 tion aux dérivées partielles a pour intégrale l'équation finie 

 donnée plus haut. 



IH. Équations des cono'ichs. Quand on prend la directrice rec- 

 tiligne pour axe des z, et le plan directeur pour plan des xy , on 

 trouve pour équation finie des conoïdes : 



-& 



et pour équation aux dérivées partielles : 



px-\-qy = (). 



Celle-ci exprime que le plan tangent contient la génératrice qui 

 passe par le point de contact. Lorsqu'on intègre cette équation, 

 on retombe sur l'équation finie, ce qui prouve que l'équation aux 

 dérivées partielles n'appartient qu'aux conoïdes. 



IV. Surfaces de révolution. On peut regarder une surface de 

 révolution comme le lieu d'un cercle mobile : 



x^ -\- y- -{- z^ = a , 

 a; cos a -t- // cos ;3 -\~ z cos y =^ b , 



dont le plan est perpendiculaire à la direction déterminée par les 

 cosinus cos a, cos (3, (;os y, quand on suppose que l'axe de révo- 

 lution a cette direction et passe par l'origine des coordonnées. 

 L'équation finie des surfaces de révolution est donc : 



œ cos x -^- y cos 13 -\- z cos y = f {œ^ -+■ y^ -4- z^). 



On tire de là, en dérivant par rapport à x et ?/, et écrivant en 

 outre une équation identique, pour la symétrie : 



