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équations (5) des équations (G) ou réciproquement. On peut aussi 

 montrer directement que les différentielles f/Fi, dF^ sont identi- 

 (luemcnl nulles, quand on suppose l'existence des relations (3) 

 et (4). On déduit, en effet, de F, = A, au moyen de (4) et (3), 



e'cst-à-dire, 



= 0. 



Réciproquement si ii = a, v = b sont des intégrales distinctes 

 du système (4) où X, Y, Z sont des fonctions quelconques de x, y, z, 

 e'cst-à-dire si les relations (3) existent, toute équation 



F{u,v) = 0. . (!) 



entre les fonctions i< et v, est une solution de l'équation 



Xp -t- Yg = Z. 



On déduit, en effet, de Téquation (1) : 



^^F ^a ^F ^v /-^F ^u àF ^o\ 



hi ^^x àv rJx Vu àz ^0 èz! 



SF rJu rJT ^v pP ^u ^F ^i 



Su Sij rJv hj Yu Sz Sv Sz 



SF ou JF Jy l^F Su SF Sv 



lôY du 



= 0, 



Su Sz Sv Sz \Su Sz Sv Szl 



Ajoutons ces trois équations après les avoir multipliées respective- 

 ment par X, Y, Z; il viendra : 



SF I Sa Su Su\ SF / Sv Sv Sv 



— -+-V— -f-Z— H-— X— -hY— -t-Z — 



'ix Sy Szf Sv V Sx à y Sz 



'SF Su SF Sv , 

 -+-——-<-—— i^P H- Vf/ - Z) = 0. 

 'd(/ Sz Sv àz' 



