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constantes ne peuvent pas se réduire à un moindre nombre, en 

 prenant pour nouvelles constantes des fonctions des premières. 

 Dans ce cas , au point de vue pratique , le mieux est de considérer 

 les constantes supplémentaires comme des constantes ayant une 

 valeur spéciale, mais quelconque. On en trouvera un exemple, plus 

 bas, dans l'intégration de Vèqiiation de ScliUifli (§ 12). 



La manière dont Lie envisage la nature des équations aux dé- 

 rivées partielles permet d'expliquer l'introduction de ces cons- 

 tantes supplémentaires, comme nous allons le faire voir sur un 

 exemple très -simple. Cet exemple nous permettra, en même 

 temps, de faire comprendre comment il peut exister plusieurs 

 intégrales complètes absolument équivalentes, pour une seule et 

 même équation aux dérivées partielles (*). 



Trouver une surface dont le plan tangent fasse un angle cons- 

 tant r avec un plan donné. Prenons le plan donné pour plan des 

 xy et une perpendiculaire à ce plan, pour axe des z. L'équation 

 du problème sera : 



IdzY (dzY 1 



\dy} \dyl cos- /• 



On trouve aisément que les plans représentés par l'équation 



z — c = Xx -\-Btj, (4 ) 



où 



A2 -+- B2 = A-2 - 1 , 



satisfont à la question. L'équation (1) représente oo* éléments 

 faisant un angle r avec le plan des xy; l'équation (2) et celles que 

 l'on en déduit, 



p = \, q = B, (2') 



représentent les mêmes oo* éléments. 



Si Ion prend, au lieu de l'équation (2), l'équation 



{z - c) = A {x - a)-\- \^ {y ~ h) , (3) 



(*) Jacobi, Voïiesungen, pp. 491-309, s'occupe de ce sujet, qui n'est pas 

 encore complètement élucidé. Voir, plus bas (§ 32), à propos de la méthode de 

 Lie, quelques-unes des recherches de Mayer, sur lesquelles est basée l'expo- 

 sition qu'il a donnée do la méthode du géomètre norvégien. 



