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Dans ce cas, on peut éliminer les constantes a entre ces équations, 

 ce qui conduit à une relation 



f{z,Xi,x^, ...,x„) = 



qui ne contient pas les p. Cette équation représente, en un certain 

 sens, oc"" éléments, savoir, en chacun des oc" points de cette variété 

 à ?i dimensions, les oo" éléments obtenus, en faisant varier p^, ..., p„ 

 de toutes les manières possibles. Ces éléments satisfont à léqua- 

 tion (2), puisque les quantités dz. clx^, ...,f/x„, sont toutes nulles. 



II. Véqnalion (5) provient de n relations analogues à (1). On 

 verra (n" 25) que, dans ce cas. Ton arrive à une équation linéaire. 



III. L'équation provient de (n — i ), (n — 2), ..., 2 relations 

 analogues à{i). On trouve, de cette manière, {n — 2) classes d'équa- 

 tions semi-linéaires, si l'on peut ainsi les nommer. Lie annonce 

 qu'il est parvenu à les ramener aux équations linéaires. Nous 

 n'avons pu reconstruire sa démonstration (*). La méthode de 

 Cauchy, telle que nous l'exposons, s'applique directement à ce 

 cas, comme au cas des équations linéaires (comparez n" 109). 



IV. L'équation provient d'une seule relation analogue à (l). 

 C'est le cas ordinaire des équations non linéaires. 



[Plus simplement, l'équation (5) peut provenir d'une relation 

 de la forme (1") contenant linéairanent I. n constantes; II. (« — i) 

 constantes ; III. [n — 2) , {n — 5), ... 1 , constante ; ou enfin , IV. pas 

 de constante.] 



[15. Des constantes supplémentaires (**). 11 arrive souvent, dit 

 Jacobi, que les calculs qui servent à trouver une solution com- 

 plète d'une équation aux dérivées partielles, conduisent naturel- 

 lement à introduire dans cette solution un nombre de constantes, 

 plus grand que celui des variables indépendantes; et l'on détruit 

 la symétrie des calculs, si Ton pose un certain nombre des cons- 

 tantes supplémentaires égal à zéi'o. On suppose d'ailleurs que ces 



(*) Lie, Ziir Théorie, etc. (iNaclirichlen, pp. 486-487). 



(**) Jacobi, Vorlesungen , pp. 475-481 , est à peu près le seul auteur qui 

 s'occupe de celle question. II la traite d une manière analytique. Nous avons 

 cru préférable et plus clair d'en dire ici quelques mots, en nous servant des 

 idées fondamentales de Lie. 



