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En éliminant «,,..., a„, li,..., /,„_i, entre les équations (i) et (4), 

 nous trouverons une équation aux dérivées partielles, 



dont tous les éléments satisferont à la condition (2) et auront leurs 

 points sur la variété (1). 



Réciproquement, l'équation (5) représente tous les éléments 

 définis par les équations (1) et (2). On déduit, en effet, de l'équa- 

 tion (I) , en se servant de la valeur (2) de dz : 



U^i ^z ' \^Xn ^z 



(6»») 



On voit par là que (?i — îm) seulement des différentielles dx sont 

 arbitraires, pour les éléments représentés par les équations (1) 

 et (2). Pour éliminer m différentielles des équations (6), multi- 

 plions ces équations respectivement par >i, >2j ••• >^»i-i ^t l'unite, 

 et ajoutons-les; égalons à zéro les coefficients de m différen- 

 tielles, en vue de l'élimination, puis les coefficients des autres, à 

 cause de l'indépendance de ces différentielles restantes. Ces calculs 

 nous conduisent aux équations (4). Ce sont les conditions néces- 

 saires pour que les éléments qui satisfont aux équations (1) satis- 

 fassent aussi à l'équation (2). 



Donc, enfin, les équations (1) et (4) représentent les éléments 

 cherchés, et la résultante (5) de ces équations est l'équation unique 

 de ces oo^" éléments. 



[II. Imaginons que les équations (I) soient résolues par rap- 

 port à m des constantes, et appelons les [n — m) = k restantes, 

 6,, 62, ..., 6a. Supposons que les nouvelles équations ainsi obtenues 

 soient les suivantes 



H^ (5,37,,. ..,a:„, &!,..., W — «1 = 0, (l'i) 



H«(s,a:,,...,cr„,?;„...,60-a,. = (1m) 



