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 une solution de (3;, c'esl-à-dire supposons que 



*'-"-'""^=-''(^'--"»'ë''-'S) '"^ 



Posons 



^F ^à ^F _ ^ ^F _ ^'^^ 



(11) 



et lirons de là les valeurs de a,, a^, ...,«„. Pour ces valeurs, on 

 aura identiquement, puisque F est une solution de (5), 



/ /TF ^F \ 



F(Xi,...,œn,ci„...,a,;) = f\^x,,...,Xn,~^ — ' — y • • • ('-) 



_ £F J-F f/a, ^F da„ _ ^■;^ 



^Xi ^«1 clXi J"a,i clx, ^Xi 



_ ^F ^F cla^ ^F da^ __ S-h ^ 



" "~ Sxn ^cii dx„ ^a,, dx„ Sx,^ ' 



d'où, au moyen des équations (11), F = </; et les équations (4). 

 La solution z = ^ est donc comprise parmi celles qui ont été don- 

 nées au numéro précédent. On peut encore déduire les quan- 

 tités a de l'équation (12) et de [n — \) des équations (H). 



Si la solution (9) était donnée sous forme d'une relation impli- 

 cite entre z et les a:, on pourrait faire encore la démonstration 

 précédente. 



Il résulte d'ailleurs de tout ce que nous venons de démontrer 

 qu'iï suffit d'avoir ta solution complète cV une équation aux déri- 

 vées partielles pour en connaître toutes les solutions. Ainsi, par 

 exemple, toutes les solutions de Véquation de Clairaut généra- 

 lisée (comparez le n° 28) 



peuvent se déduire de l'intégrale générale : 



z—a^Xi-[- a^x^ H h a„Xn -+- A (^i ' ^2 ' • • • j ^n)- 



