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Les fonctions «i, «25 ••• «a sont indépendantes les unes des autres, 

 et, par suite, leurs différentielles sont arbitraires; on tire donc, 

 de l'équation précédente, les k relations : 



JF J^F J;r, ^F Jr^ dz ^ 



. 1 1 1 =0 ou — = 0, . . . (81) 



J"fli J~6j ^Ui àb,n ètti (IŒi 



S¥ ^F Stt, <^F Stu,^ ^ dz ^ 



' 1 --\ h-— -— ^=0 ou -—=0. . . . (8a) 



ëak CÎ6, Sak ^b„, èa^ duk 



Les relations (7) et (8) suftiront pour déterminer les fonctions 

 a et 6. Les cas les plus remarquables sont ceux où m = \ et où 



m = {n — 1). Si m == \, k = (n — 1), et les équations (7') et (8) 



deviennent : 



an = T{a^,a.2,as,....,an-i), (7'") 



^¥ ^F ^TT ^F ^F J;r 



Si m = [n — 1), k=\, et les équations (7) et (8) deviennent 



a, = TT^ («„); «2 = ^2 {an), . .. , a«-i = ?r„_i (a„) , 

 ^F JF ^F ^F 



§a, ' <^«2 ' Son-K '*-' " San 



La solution (!) de l'équation (5), est V intégrale complète; la 

 solution donnée par les relations (1) et (6) est la solution sin- 

 guiitre; la solution donnée par les relations (1), (7'"), (8') est 

 V intégrale générale; les autres solutions données par (d), (7), (8) 

 n'ont pas reçu de nom particulier. Elles sont intermédiaires entre 

 la solution sitigulière et l'intégrale générale; on peut les appeler 

 intégrales semi-singulières. 



Ce qui précède i)eut s'exposer facilement encore, quand la rela- 

 tion (1) entre ;;, les x et les a est donnée sous forme implicite. 



11. Toute intégrale de V équation (5) est comprise dans les 



précédentes. Soit 



z = ^{.r„œ,,...,Xn), (9) 



