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L'intégrale complète est l'équation d'un plan quelconque, situé 

 à une distance h de l'orisine : 



z=^ ax -^by -\' hy \ -\- a^ -\- b^. 

 La solution singulière est la sphère, 



a;2 + t/» 4- 2^ = /i', 



tangente à tous ces plans. 



L'intégrale générale représentera une surface développable 

 quelconque circonscrite à cette sphère. Si l'on fait, par exemple, 



a7n -\-bn=:l , 



on trouve un cylindre de révolution; car cette relation équivaut, 



dans le cas actuel , à 



mp -+- nq = 1 



à cause de p = a, q = b (voir n° 20). 

 Si l'on fait 



h \/i -i-a'^-^b^ = k — ma — nb , 



on trouve un cône, qui sera encore de révolution, puisqu'il est 

 circonscrit à la sphère. En effet, on a, dans ce cas : 



z =: ax -i~ bij -^ {k — ma — n6) , 

 et 



z — k =p {X — m) '\-q{ij— n) , 



qui appartient au cône ayant pour sommet (m, «, k) (voir n'' 20). 



On peut remarquer, avec Lagrange , à propos de cet exemple, 



quil est impossible de déterminer tt de manière que l'intégrale 



générale 



z^=ax-\-y 7ra-\- h\/i. -f- a'^ -4- (ra)"2, 



a -4- ?ra . Tr'a 

 =. X -\- yTr'a ■+■ h 



i/i -\- a"" -\- {Traf 



représente la sphère. On ne peut, en effet, éliminer x, ?/ et z 



entre les deux équations que nous venons d'écrire et celle de la 



sphère. D'ailleurs, ces deux équations représentent une surface 



Tome XXV. 5 



