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faisant entrer deux constantes arbitraires dans n. Il est clair, d'ail- 

 leurs, que l'on peut trouver une infinité d'intégrales complètes (*). 



9. Exemples ("*). I. L'équation 



donne 



p-=b, q = bm, 

 q = mp. 



La solution singulière n'existe pas, car les équations (G) sont 



dz dz 



— = 1=0, — = a;-f-wîy=0, 



da db 



dont la première est absurde. L'intégrale générale est donnée par 

 élimination de a et 6 entre 



z = a-hb{x-i- mij) , 



b = 7ra, 



= 1 -+- ;r'a (J7 H- m?/), 



ce qui conduit à 



z = X {x -\- my) , 



X désignant une fonction quelconque. 



IL Soit 



z = a-^bœ + yf{a,b). 

 On aura : 



p = 6, q = f{a,b). 



(*) Lagrange (Mém. de Berl., 1774, OEuvres, l. IV, p. 80). La théorie 

 complète des relations qui existent entre les intégrales complètes a été 

 esquissée par Jacobi, Vorlesungen, pp. 471-509, et en divers endroits de ses 

 mémoires, et par Mayer, Math. Annalen, t. III, pp. 449-432 et Nachrichten de 

 Gottingen , 1872, n" 21 , pp. 403-420 ; mais ce difficile sujet ne peut être traité 

 qu'au moyen de la théorie générale des transformations de Lie, que ce géo- 

 mètre n'a pas encore publiée (voir Nachricblen , 1872, p. 484). C'est pourquoi 

 nous nous contentons d'exposer la partie absolument nécessaire des recherches 

 de ces géomètres. 



(**) Lagrange (Mém. de Berlin, 1774, OEuvres, t. IV, n" 39, pp. 63-64; 

 n" 49, pp. 75 et suivantes). 



