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 On aura : 



2SjdSi = («2 — fls) du , ^s^cls^ = (a. — «i) du , '2s^ds- ^= (tti — «a) du , 

 ou, en posant, pour abréger, 



^^2 ■" ^'ô = ^l 5 f^3 ~~ ^1 = ^5 • ^1 ~ ^2 = ^ô: 



et intégrant : 



S^=:6lU-t- Al, 



si = b^u -\- A.2 , 

 sl = b^u-\-A.. 



Les constantes A,, Aj, A5, à cause des relations (1) et (i^) sont 



telles que 



OjAi H- fl^Aj + OjA = 1 , 



A,-\-A,-^A, = '^. 



De plus on peut supposer Ai constante absolue, puisque u est 

 une variable que nous choisissons arbitrairement (*). La relation 

 qui existe entre n et z donne ensuite : 



-'-kf 



du 



i/(A, + b^u) (A2 -+- b^u) (Ag -+- 63W) 



IV. Cherchons une dernière intégrale . On a : 



Pidx^ — Xidpi = (pi^i -t-a^i^i) dz= {\ — a^sl) dz = {a^s\ -h o^^'^ dz 

 p^dœ^ — œ^dp^ = (p^^a -t-^a^a) dz = (1 — a^s^) rf^ = («gÇ^ -h a^sl) dz 

 Pzd^s - ^zdp^ = ip^-r^-^x^^^) ds = (! - a^sz) dz = (a, s] + «^5^) dz. 



Or: 



^1, m- i ^1, 37"^ -+- a?| H- a;! I 



Pi , N col fi Pi , X,2h -+- ^aPa -+- ^5P5 ! '' ' " ' 



Donc : 



w^Pi = N COt £ . J?i — {X.2S^ — X^S.-,) , 



m^ ip^dœ^ — x,dp^) = x^d (oj^^^a — ^3^2) — (-^^a^s — ^s-^ ^^i- 

 Posons : 



Na^i -= mf>^ cos e, , {x^s^ — j-j.Çg) == tnpi sin O^ , /j^ = ^-^ ~\- s: , 



(*) Nous avons vainement essaye de laisser Ai constante arbitraire et de 

 rendre la solution du n<> 43 aussi symétrique que celle du n» 44. 



