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 La dernière relation donne encore : 



d {x^Pi -t- cc^p^ -^ iTgPs) = 0. 

 On tire de là , en remarquant que 



ix- -t- xl -H xl) (pI -t- pI -}- Pi) — {x^pi -+- x^p^ -+- x^pj' = s\ -{- si -+- 5| , (3) 

 trois intégrales qui sont comprises dans les équations suivantes : 



xl + xl -^œl = m^ s^ -+- s^ -f- s| = N2 (4i) {A.^} 



pl-hpl-\-pl^ ' X,p, + O^aZ^a + ^zPn = ^f COt f , (43) (4«) 



auxquelles il faut ajouter l'équation donnée : 



a^sl^a.,sl-\-a^sl=i: (1) 



X, m, £ sont des constantes arbitraires. 

 IH. On a ensuite : 



J.ç, = x^dp^ + p^dx^ - x^dp^ — p^dx^ = ( — a?2^3 + Pj^^ -t- a^jH^ — Pi^r^) dz. 

 Mais d'après les propriétés des déterminants : 



a^s^s.^ -+- O^j^a -H P3/T2 = . 



Donc 



et, par conséquent, 



dSi = («2 — «3) s^s-dz. 

 De même 



ds^ = (ttg — a J s^s^dz , 



dSj = (a^ ~ «a) SiS.idz. 



De ces équations une seule est distincte des précédentes, car on 



en tire : 



SidSi ■+- .'î^ds.2 -+- s^ds^ = 0, 



UiSidSi -h a^s^ds^ •+■ a^s^ds. = 0, 

 qui conduisent aux relations (I) et (42). Nous poserons : 



du =: ^SiS^s^dz . 



