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« Comme jusqu'ici , rien ne limite la fonction f {v , iv), il s'en- 

 suivrait que l'équation primitive cVune équation du premier ordre 

 à trois variables pourrait renfermer une fonction arbitraire de 

 deux quantités; il est facile de se convaincre qu'il est impossible 

 de faire disparaître d'une équation à trois variables une fonction 

 arbitraire de deux quantités par le moyen de ses deux équations 

 dérivées. » 



Cette objection n'est pas tout à fait exacte. On peut dire sim- 

 plement ceci : il est assez extraordinaire, au premier abord, que 

 l'équation primitive d'une équation du premier ordre à trois va- 

 riables puisse dépeindre de la valeur de p, déduite d'une rela- 

 tion (15) qui renferme une fonction arbitraire de deux quantités. 

 Quoi qu'il en soit, Lagrange a très-bien expliqué le paradoxe que 

 nous venons de faire connaître et a donné en même temps le 

 moyen de trouver l'intégrale générale de l'équation (7), comme 

 suit : 



Au lieu des variables x,y,z,p, qui entrent dans les équa- 

 tions (il„) ou (141), nous prendrons u, v, w,p. L'équation (14) 

 pouvant remplacer l'une des équations (IJJ ou (lia), « ^^^^ ^^ 

 formule dz — pdx — qdy, les termes provenant de la variabilité 

 de p 5 se détruiront mutuellement, puisque ces mêmes expres- 

 sions » des anciennes variables en fonction des nouvelles, « ren- 

 dent cette formule nulle dans le cas où u, v, w sont constantes. 

 Elle deviendra donc de la forme : 



\jdu -h \dv -+- Wdw , 



dans laquelle U, V, W seront des fonctions de p, u, v , iv » 

 (Lagrange). Au lieu de l'équation (14), on peut donc prendre 



Udw -f- Vrfy -h Wdio = (16) 



Comme l'équation (15), qui est une solnlion de celle-ci, ne con- 

 tient plus explicitement jo, il en sera de même de (16), de sorte 

 que U, V, W sont exprimés au moyen de u, v,iv seulement. 

 Au lieu d'intégrer la relation 



dz = pdx ■+■ qdy (2) 



