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 34. Exemples. I. Soit à intégrer les équations (*) : 



^'^ q = ^ {p, y)' 

 Oh aura 



dz = 2^dx -+- ycpdij, dz = pdx -t- k {p, ij) dij, 



équations immédiatement intégrables si on fait p = a. On trouve 

 les intégrales complètes : 



z=: ax -i-b -\- xaij, 



z = ax -\-b -\-J% {a, ij) dy. 



En appliquant ce procédé d'intégration aux équations : 



pq=\, 



p^ -\- q^ -^\z=i m^, 



P =qu-^q-, 

 on trouve les intégrales complètes : 



z = ax-h 6 H — ' 

 a 



z:=ax -^ b -\ 5 



Vnf 



y' yVy'-^Aa 



z^ax-\-b—~± l- ^- — -+-2al(î/-t-l/y2H-4a) . 



La seconde de ces équations répond au problème suivant : « Trou- 

 ver les surfaces dont l'aire, pour une portion quelconque, est à sa 

 projection sur le plan des xy, dans le rapport m : 1 ; ou encore : 

 Trouver les surfaces dont les normales soient parallèles aux gé- 

 nératrices d'un cône droit (Comp. n° 15). 

 II. Soit à intégrer : 1° L'équation (**) 



fi{0C:P)=f,(y,q)- 



[*} Lagrange, Mémoires de Berlin, 1772, ler, S^e et S-^^ cas ; OEuvres, 

 I. III, pp. 558-560. 



(**) Lagrange , Mémoires de Berlin , 1772 , i»"- cas, OEuvres, t. III , p. 561 ; 

 Mémoires de Berlin, 1774, n° 50 , OEuvres , t. IV, p. 80. 



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