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 Chacun de ces rapports sera d'ailleurs égal à 



1 dx 



Â dX,n 



On devra donc, pour effectuer la transformation de Pfaff , inté- 

 grer le système (12) , où n'entrent que des dérivées par rapport 

 àa;,„.On en conclut que l'on pourra prendre les (m — 1) constantes 

 de rintégration pour les nouvelles variables i^,, ... , ?/,„_i. 



Dans des cas particuliers, c'est-à-dire, pour certaines valeurs 

 des fonctions X, les [m — 1) équations (12) se réduiront à un nom- 

 bre moindre et une ou plusieurs des relations (5) resteront arbi- 

 traires. Dans ce cas, le plus simple sera de se donner arbitraire- 

 ment la valeur d'une ou de plusieurs des dérivées 



ce qui revient à prendre un certain nombre de nouvelles varia- 

 bles i/, identiques aux anciennes. 



48. Résolution des équations (12J , par rapport aux déri- 

 vées -^ (*). Pour résoudre les équations (1 2) , nous poserons 



— — ('X,ii — uXm-i'i 5 



> dx,„ 



{*) Tout ce qui se rapporte à la résolution effective des équations (12) ne 

 fait pas, à proprement parler, partie de la théorie que nous exposons ici. 

 Sur les déterminants gauches et les pfafiiens , nous renvoyons à Baltzer, Dé- 

 terminants, § III, n» 8, p. 21; § VIII, n<" 1-4, pp. 52-60; § IX, n"' 4-5, 

 pp. 67-68. Pfaff et Gauss remarquent qu'il est impossible de résoudre le 

 système (12) quand m est impair, mais n'en donnent pas la démonstration. Ja- 

 coBi donne les notions les plus essentielles sur ce sujet dans le mémoire cité. 

 Toutefois la théorie des pfaftiens est due surtout à Cayley , dont les travaux 

 sont résumés et complétés par Baltzer, dans l'ouvrage cité. L'élégant artifice 

 que nous donnons plus bas, pour résoudre le système (12) n'est pas dans l'ou- 

 vrage de Baltzer (édition française). Nous l'empruntons à un petit mémoire de 

 Cayley, où il est employé incidemment : Démonstration d'un théorème de 



