( m ) 



de celte manière, ces équations prendront la forme symétrique 

 suivante : 



(1 , 1) dXi ■+- (1, -2) dœ.2-i h (1, m) dx,„ = X^da7,„-M, • • (13i) 



(2, i)dx,-^-{^, ^)dx,-^ h(2, m)dx,„ =X^dXm+i, • . (l^^) 



{m, i) dXi -+- (m, 2) dx.j,-[ H (wi, m) dx,n = X,ndXm-i.\ . • (13,„) 



Le déterminant de ce système linéaire est le déterminant symé- 

 trique gauche : 



11,12,13,..., im 



21,22,25,..., 2m 



31,32,33, ... , 3m 

 G= ' ' ' ' 



mi, 



Or, celui-ci, comme on le sait, est le carré du pfaffien: 



(1,2, 3,..., m), 



si m est pair, et est identiquement nul, si m est impair. Il résulte 

 de là que la transformation dePfaff n'est, en général, possible que 

 si m est pair. Dans le cas où m est impair, pour qu'elle soit pos- 

 sible, il faut que les déterminants qui sont au numérateur des 

 inconnues dxi, rfxg, ..., soient tous nuls en même temps que le 

 dénominateur commun, qui est le déterminant écrit ci-dessus; ce 

 qui revient à dire que les équations (15) ne sont pas toutes dis- 

 tinctes les unes des autres. 



Dans le cas où m est pair, Cayley a donné une méthode extrê- 

 mement simple pour résoudre ces équations. Posons : 



- X, = (1 , m + 1) , — Xo = (2, m + 1) , . .. , - X,„ = (m, m -H 1). 



Jacobi par rapport au problème de Pfaff (Journal de Crelle, t. LVII, 

 pp. 273-277), p. 275. En imitant le procédé de Cayley, nous avons pu trouver 

 l'équation (15) sans nous servir des propriétés des déterminants adjoints, 

 comme fait Baltzer. 



