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 On pourra écrire comme suit les équations (4 5) : 



(1,1) dXi -*- (1, 2) dX2 H h (1, m) diP,„-t-(l, m-t- 1) dXm+i = 0, (14J 



(m,l)da^i -t-(m,2) dx^ H h (m,m) dx,n -i- {m,m -{- 1) da7m-M= 0- (J^m) 



On a évidemment, 



dXi dx.2 



(-2,3,4, ..., w,î?i-t- 1) ~ (3,4,5, ..., m -4- 1, 1) 



dx,„ dx„^+^ 



(m-+-l,l,2,...,m — 1) (1,2,3, ...,rw) 



les dénominateurs étant des pfaffîens. En effet, d'après la théorie 

 de ces expressions remarquables, si l'on substitue ces valeurs dans 

 les équations (14), on trouve pour résultat de la substitution les 

 pfaffîens suivants qui sont identiquement nuls, comme ayant deux 

 indices égaux : 



(l,l,2,3,4,...,m4-l),(2,l,2,3,4,...,m-Hl),(3,l,2,3,4,...,m-f-l),etc. 



Il est facile d'exprimer au moyen de Xi, Xg, etc., les valeurs 

 de dxi, dx^, etc. D'après une propriété fondamentale des pfaf- 

 fîens, on a : 



(2,3,4,...,m-4-1) = -(mH-l,2,3,4,...r7î) 

 = — [(m-4- 1 ,2) (3,4, .... m) •+• {m-i-i ,3) (4,5. ..., m, 2) -h etc J , 



ou encore 



— (2,3,4,...,w-hl)=X2(3,4,...,m)-+-X3(4,o,...,m,2)H i-X^(2,3, ...,w-I). 



De même 



— (3,4,5,...,m-4-l,l) = X.(4,5,...,m,l)-+-X^(o,6,...,m,i,3)-i-etc., 



— (m-t-l,l,2,.5,...,m-l)=Xi(2,3,4,...,m-l)-t-X2(3,4,5,...,m— l,l)-i-etc. 



Dans le cas où m est impair, et par conséquent {m ■+- 1) pair, les 

 équations (14) sont incompatibles , ou peuvent se réduire à un 



