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moindre nombre. Il est facile de distinguer les deux cas. Multi- 

 plions : 



la première par. . . (2,5, 4, ... ,m), 

 la deuxième par. . . (3,4, 5, .. , m, 1), 

 la troisième par. . . (4, 5 , 6, . . . , m , 1 , 2) , 

 etc. 



et ajoutons les résultats; les coefficients de dx^, dx^, ..., dx„, se- 

 ront des pfaffîens identiquement nuls comme ayant deux indices 

 égaux. Donc le résultat final sera : 



[(l,m-h 1) (2,5, 4,..., m) -t- (2, m -4-1) (5, 4, ..., m, 1) -t- etc.] da;„t+i = 0, 



ou encore, 



(1,2,5, ..., m-hl) = (lo) 



Dans le cas où m est pair, (w-+- i) impair, cette équation est sa- 

 tisfaite identiquement; si m est impair, (m -h 1) pair, le premier 

 membre de cette équation n'étant pas nul, en génércd, les équa- 

 tions (14) ou (15) seront donc incompatibles. Mais , en 'particulier, 

 si les valeurs de X,, ...,X„,, sont telles que(l, 2, 5, ..., Mi-+-i) = 0, 

 les équations (13) se réduiront à un nombre moindre et seront 

 compatibles. Cette équation de condition (15) peut prendre la 

 forme suivante : 



X,(2,5,...,m)-t-X2(5,4,...,m,l)4-..--t-X„(l,2,...,m-l) = 0. (15') 



Elle a déjà été indiquée par Jacobi, qui l'a trouvée d'une ma- 

 nière moins simple que celle que nous indiquons ici. 



49. Extension de la méthode précédente de transformation (*). 

 Considérons une expression différentielle 



(*) Gauss, Œuvres, t. III, pp. 255-254. Gadss fait remarquer que les trans- 

 formations dont il s'agit ici ne sont comprises qu'implicitement dans le 

 mémoire de Pfaff. Jacobi (Journal de Liouville, t. III, p. 201) expose à peu 



