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Éliminons k différentielles du entre ces équations et («) et égalons 

 à zéro les coefficients des autres dans le résultat, nous trouverons 

 ainsi (n — k) relations : 



Fa+i = 0, F*+2 = 0,...,F„ = 0, 



qui avec celles que nous avons choisies arbitrairement 



F, = 0, F, = 0, ...,F.= 0, 



constituent encore un système intégral de l'équation (I) (*). 



52. Application à l'intégration des équations aux dérivées 

 partielles du premier orr/re. Suivant une ingénieuse remarque de 

 Pfaff, Tintégration d'une équation aux dérivées partielles : 



f{z,x,,œ,,...,œ^,lo,,p^,...,Pn) = (^) 



revient à celle de l'équation différentielle totale : 



PidXi H h PndXn H- O.clpi H h Q.dpn-i -f- (— 1) dz = 0, . (3) 



où p,^ est censé remplacé par sa valeur déduite de la relation (î2). 

 On peut appliquer la méthode précédente à cette équation (5). 

 Pour cela , on posera 



œn + l = Pi, Xn + i=p2, ■■■,'^-2n-l=Pn-l, JC-2n = Z , 

 Xi =i>i, ^2 =P2, ...,X„_| =p„_i, Xn—Pn, 

 X„+,= 0, X„ + 2=0, ...,X2,.-1=0, X2„=-i. 



Presque toutes les quantités exprimées par le symbole 



seront nulles, de sorte que les valeurs de k^, ... , A'g,, se simplifie- 

 ront beaucoup mais perdront en même temps leur forme symé- 

 trique. 



(*) On trouve ainsi toutes les solutions, comme il est facile de le voir, en 

 se reportant au n" 12. 



