( H4 ) 



Pour mettre ces équations sous une forme plus symétrique, 

 nous remarquerons que, d'après l'équation (2), on a : 



Introduisant ces valeurs dans les équations de la transformation, 

 elles deviendront : 



ia') 



Ppaff est donc arrivé identiquement aux mêmes équations auxi- 

 liaires auxquelles Jacobi est parvenu plus tard, en donnant à la 

 méthode de Lagrange son extension naturelle (voir le § 11 tout 

 entier). Comme nous l'avons déjà dit, les calculs se font de la même 

 manière dans les deux méthodes, mais dans un ordre inverse. 



Dans la méthode primitive de Pfaff, on doit intégrer n systèmes 

 d'équations auxiliaires analogues à («'), qui donnent ?i relations 

 contenant ti constantes arbitraires. L'élimination dep,,;?2> ••••?/>« 

 entre ces ii relations et l'équation donnée conduit à Yintégrale 

 complète de l'équation aux dérivées partielles (2). 



La formation des autres systèmes auxiliaires (a') ne peut se faire 

 que dans chaque cas particulier, puisqu'ils dépendent des inté- 

 grales du premier de ces systèmes (*). 



(*) Sur le problème de Pfaff, voir les remarquables mémoires de Natani 

 (Journal de Crelle, t.LVlII, pp. 501-328), de Clebsch (Journal deCrelle, t.LIX, 

 pp. 190-19-2; t., pp. LX 195-251 ; t. LXI, pp. 146-179) et de Dubois-Reymond 

 (ibid., t. LXX, pp. 299-313); puis divers écrits de Lie, dans les recueils de 

 l'Académie de Christiania. 



