( 1-'7 ) 



Si u désigne une des variables x ou p, on trouve encore, en 

 supposant que D indique une dérivation par rapport à «, 



D (5',^) = (D^^) + (?,D^), (4,) 



D2(f,^) = (D2^'/')+2(Df,D^)-f-(f,D2^), (42) 



1 1.2 





(4«) 



dont l'analogie avec la formule de Leibniz pour la recherche de 

 D"yi// est évidente (*). A priori, d'ailleurs, cette analogie doit 

 exister puisque les expressions symboliques de Poisson sont des 

 sommes de produits de deux fonctions, et cette remarque suffît 

 pour démontrer les formules (4). 



57. Développements des diverses expressiotis yif. On a immé- 

 diatement par les propriétés élémentaires des déterminants : 



= 2 



Cette équation prend une forme remarquable si r = s = n, et si 

 a = b =p, les p étant supposés fonction des x. Alors il vient, 

 en développant le déterminant du second membre 



{f,'p) = {f,^) 



y 2 ^ilji^ '^^^^• 



(3) 



Spi Spk j Sxk Sx, 

 la somme double s'étendant aux valeurs 1 , 2, 5, ..., n de i et k. 

 (*) Les formules (4) sont données par Imschenetsky, pp. 51-32. 



