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Corollaires. I. L'opération (BA — AB) n'introduit pas de déri- 

 vées secondes, mais seulement des dérivées premières de la fonc- 

 tion sur laquelle on opère. 



II. Si l'on a identiquement (I, J) = 0, ou si l'on a identique- 

 ment Ba — A6 = 0, on a aussi : 



ABR = BAR, 



c'est-à-dire que l'on peut intervertir les opérations A et B. Si l'on 



convient d'écrire A'R, au lieu de A . A'-^R, on en conclut qu'on 



peut écrire aussi 



A'"B«R = B'^À'^R, etc. 



Il résulte de là que, si R est une solution de AR = 0, il en est de 

 même de B'»R. Car A . B'"R = B'" . AR = B'»0 = 0. 



Jacobi a donné de ce corollaire l'élégante démonstration que 

 voici. Soit posé 



On aura 



ou encore : 



dui ^ dui 

 ai = -— ) bi = — - 

 dt ds 



dŒi dhi 

 ds dt 



dcii dUi dtti du^ dtti du,n_db^dUi dbi^du^ dbj du,,, 



dïT^ ds du^ ds du,,, ds du^ dt du^ dt du,,, dt 



c'est-à-dire, successivement : 



/ dOi 



dai \ ( dbi dbi \ 



du„,l \ du^ du,,,) 



dUi 



Ba, — A6i=0. 



Remarquons ensuite qu'il viendra : 



dR dR _dR du, dR du,,, __dn _ 



~ * dWj '" du„i dUi dt du,,, dt dt 



dR 

 J = — = BR. 



