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 D'où, en tenant compte des formules (i), (4,) du § 16, 

 (N,(M,R))-(M,(N, H)) 



On tire de là, en faisant passer tous les termes dans le second 

 membre, au moyen de la formule (I) du § J6 : 



(M, (N, R)) -+- (N, (R. M)) -t- (R, (M. Nj) = 0, 



ce qui est le théorème fondamental de Jacobi. 



Corollaire. Soient M = a, N = 6 des solutions de l'équation : 



{R,2) = 0, 



il résultera du théorème précédent que l'on a aussi, pour solution 

 (M, N)=c. Car l'équation fondamentale donnera : 



(M,0)-h(N,0)-f-(R,(M,N)) = 0, 



ou 



(R,(M,N))=0. 



60. Démonstration de Donkin (*). « Si M, N, R sont des fonc- 

 tions quelconques des 12/i variables Xj, ... , x„, pi, ... , p„, on a : 



(M,(N,R))-+-(N,(R,iM))-4-(R,(M,N))=0 (e) 



Si l'on développe cette expression, il est évident que chacun de 

 ses termes se compose du produit d'une dérivée du second ordre 

 de l'une des fonctions M, N, R par des dérivées du premier ordre 

 de chacune des deux autres fonctions. 



(*) Nous empruntons cette citation textuelle de Donkin à Imschenetsky, 

 p. 145. La démonstration de celui-ci repose sur l'emploi de la formule (6"^) 

 du § précédent pour exprimer (M, (N, R)) (N, (R, M)), de la formule (4J pour 

 exprimer (R, (M,N)). On ajoute les résultats trouvés, et on permute deux 

 fois, circulairement , dans la nouvelle équation, les lettres M , N, R. On trouve 

 le théorème de Jacobi, en ajoutant les trois dernières relations obtenues. 



