( us ) 



66. Sixième, septième et huitième forme des conditions 

 d'intégrabilité (*). Les équations f peuvent être supposées mises 

 sous la forme suivante : 



A(a7i,...,j^„,Pi,P2,P3,...,p„) = Hi = rt,, (/-j 



/s (,1-1,..., J7„,ai,a2,pg,...,p„)= «3, (A) 



/■„(a;,,...,a;„,a,,02,... ,a„_i,p„) = rt„ . (/;j 



En remplaçant p, par sa valeur ç;,(x,, ..., x„, «,,..., «„ ;),+,,..., pj 

 dans /l, on aura l'identité 



On en déduit, en dérivant par rapport à l'un des x ou des p , 



Sx Sfk Sx Spk Sx 



Sp Sfk Sp Spk Sp 



{*) Jacobi, Nova methodus, §§ 30-52. Jacobi ajoute celte remarque: Si 

 Ton remplace dans {fi, fk), (tp par/), soit dans l'une, soit dans l'autre, p étant 

 plus petit que le plus grand des nombres i et A', on aura , en appelant fi' et /),' 

 les nou\elles fonctions, d'après la formule (6) du § 16. 



On conclut de là que le théorème VIII reste vrai quand on remplace une 

 constante Gp par sa valeur fp^ par la méthode de proche en proche; d'où 

 en éliminant ainsi successivement toutes les constantes, on retombe sur 

 (H,, Ha) = 0. Imschenetsky donne les théorèmes directs, n° 75, pp. 95-96; 

 n" 84, pp. 111-112; la réciproque, en substituant H^à a;,,n»8o, pp. 112-115; 

 il indique la démonstration de Jacobi, n''86, p. 115. Graindorge donne 

 le théorème (VI) ou (VII), n" 52, pp. 53-55, et ne s'occupe pas du théorème 

 réciproque. 



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