( U6 ) 



Sous la seconde forme, la dernière formule subsiste même pour 

 j) =p^. On a, d'après ces relations : 



(Pi — fi , A) = ^ (P' "~ ^' ' ^^* - î'*) ' 



iPi — '/'o /"«n+l) = -Z^ ( Pi — «^i , Pm+i — Fm+l) , 



{fi,h) = J-J-{Pi-fi,Pk-fk). 

 àpi àfk 



Donc, d'après les formules (III) et (V) 



(/>i-p.-,A) = o, (VI) 



(i>— ^i,A) = o» (VU) 



(A,A) = o (VIII) 



11 est clair que, réciproquement, les équations (VI), (VII), (VIII) 

 entraînent (III) et (V) et par suite (I). 



Remarque. Nous avons ainsi quatre systèmes de conditions 

 d'intégrabilité : l** Le système primitif (I); 2° le système (II); 5° le 

 système (III) ou les équivalents (VI) et (VIII); 4** un système 

 composé des équations (IV), des équations (V) ou (VII), puis des 

 équations (III) nécessaires pour avoir autant de conditions que 

 dans le système (I). Toutes ces conditions d'intégrabilité ont une 

 forme éminemment simple que l'on peut représenter par 



(M,N) = 0. 



M, N étant deux des fonctions tt, ou H, ou 53, ou t/*, ou i/* et y, 

 ou f et /i ou ^ et /", ou f. 



