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on pourra écrire cette intégrale sous la forme : 

 H3(H„H,,O,,...,0,)=a3, 



et ce sera la solution cherchée. 



Remarques I. L'intégration de l'équation (1) exige la recherche 

 d'une solution du système (a), d'ordre (2« — 1); l'intégration de (2), 

 la recherche d'une solution autre du système (o), d'ordre (!2« — 1), 

 et d'un autre d'ordre [i — 1), c'est-à-dire d'ordre (2n — 3), au plus, 

 ou d'ordre (2?i ~2), si l'on introduit une variable t auxiliaire. 



II. Les solutions ôi, 02, ôj,... , de (2i) donnent aussi autant de 

 solutions du système (a), sauf si elles rentrent les unes dans les 

 autres. C'est dans cette remarque que consiste le théorème de 

 Poisson. Bertrand a remarqué que ce théorème est souvent illu- 

 soire, quand on veut l'appliquer à la recherche de nouvelle solu- 

 tion d'équations de la forme (a). Cela arrive si ôg, 63, .... sont 

 identiquement nuls. Mais, quand il s'agit de l'intégration des 

 équations aux dérivées partielles, c'est là précisément le cas le 

 plus favorable (voir n" 71 . 1"). C'est là ce qui rend létude des 

 systèmes canoniques de la forme [a) plus difficile que celle 

 des équations aux dérivées partielles correspondantes. 



69. Intégration du système (3) et des autres systèmes. On 

 cherche une seconde intégrale 9, du système (2) ou de (5i), (og). 

 On forme les expressions suivantes : 



c'est-à-dire que l'on vérifie si Qj, ôj, 65, ..., ne sont pas des solu- 

 tions de (03). Ces fonctions 0^, 63, 64, ... seront des solutions com- 

 munes de (5i), (ds). En effet, on aura pour la fonction 02? par 

 exemple : 



(H,,0,)=(H,,(9,,H5))=-(O.,(H3,H,))-(H3,(H,,0,)), 

 (H„O,) = (H,,(9,,H3)) = -(0,,(H3,H,))-(H3,(H„0J). 



Les seconds membres de ces relations sont nuls, en vertu des 

 équations (2), ou des équations : 



(H„0.) = O, (H,,0,) = O (-2') 



qui expriment que 0, est une solution de (2). 



