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En tout, il faudra donc chercher, au plus, 



^, (fi j \ 



1 -4- 2-t- 3 H h (il — \)=^ intégrales. 



1 .2 



En particulier il faudra chercher {n — 1) intégrales du sys- 

 tème {a); puis, au plus, ( »-<M^*-^) intégrales des systèmes auxi- 

 liaires {h), (6') qui sont beaucoup plus simples. 



En apparence, la méthode de Jacobi exige plus d'intégrations 

 que celles de Lagrange et de Pfaff, puisque, dans celles-ci, il 

 suffit, en général, d'intégrer complètement l'équation («), en pre- 

 nant pour constantes les valeurs initiales des variables. Mais la 

 méthode de Jacobi laisse une grande liberté dans les calculs, 

 puisque l'on peut les commencer, à partir de chaque système 

 auxiliaire, par n'importe quelle des solutions, et l'ordre de ces 

 systèmes peut s'abaisser considérablement dans les cas particu- 

 liers. On verra, en outre, dans le paragraphe suivant, qu'elle 

 peut encore être simplifiée. 



III. On peut combiner la méthode de Jacobi avec celle de 

 Cauchy, comme on le verra au n° 425, c'est-à-dire se servir du 

 théorèm-e fondamental de Jacobi, ou plutôt de celui de Poisson, 

 pour trouver, dans certains cas, d'une manière simple, les inté- 

 grales du système (a), quand on en connaît quelques-unes. 

 C'est le mode d'intégration le plus avantageux si la suite des 

 fonctions ô est complète. Dans ce cas, connaissant [''In — 1) 

 solution de (a), le mieux est d'abandonner la méthode de Jacobi. 

 Cette remarque est due à Lie (*). 



7 \, Simplifications et modifications. V II peut arriver que 

 l'une des fonctions 0, que l'on cherche soit nulle; alors le ô pré- 

 cédent est la solution cherchée. Ainsi, par exemple, si l'on a : 



e^_^ étant déjà une solution des deux autres équations du sys- 

 tème (3), de manière que 



il est clair que 0,_i est la solution de tout le système (ô). 

 (*) Lie , Nachrichten de Gôltingen , 1872 , n- 25, pp. 488-489. 



